整数問題コツ

国公立の頻出問題のひとつとして整数があります。ですがこの整数、多くの高校生が苦手としている分野です。ということは、整数問題を応用レベルで解くことができれば一気に他の受験生と差をつけることができます。

なので今回は、難関国公立などの応用レベルでも整数問題を解くことができるコツを例題を使って紹介していきたいと思います。

『目次』

コツ①　積を一定にする

【例題】

ｘ²－(３ｋ＋２)ｘ＋９ｋ－１＝０のような２解が

ともに整数となるような定数ｋの値を求めよ

【解答】

２解をα、βとおく(α≦β)

α＋β＝３ｋ＋２･･･①

αβ＝９ｋ－１･･･②

(ｋは整数か分からないので消したい)

②－①×３をすると、　

αβ－３α－３β＝－７

☟　ここから積が一定の形にもっていく

(α－３)(β－３)－９＝－７

(α－３)(β－３)＝２

☟　かけたら一定になることから

　　α、βの値を求めることができる

(α－３、β－３)＝(１，２)、(－２，－１)　

※α≦βより、α－３≦β－３

よって、(α、β)＝(４、１)、(１、２)

α、βをそれぞれ代入して、ｋ＝7／3、1／3

コツ②　範囲を絞る

【例題】

7ｘ－5ｙ＝1を満たす

自然数ｘ、ｙの組(ｘ、ｙ)のうち、

ｘの値が小さい方から20番目であるものを求めよ

【解答】

｛7ｘ－5ｙ＝1｝－｛7ｘ－5ｙ＝1｝

☟　整数の基本である

　　「ひとつ見つけて並べて引く」を活用

7(ｘ－3)－5(ｙ－2)＝0

☟

ｘ－3＝5ｋ、ｙ－2＝7ｋとおくと、

ｘ＝5ｋ－3、ｙ＝7ｋ－2となる(ｋ：整数)

☟　範囲を絞る

ここで、ｘ＞0、ｙ＞0より、ｋ≧0

また、ｋが大きければｘも大きくなるので

20番目はｋ＝19のとき

※ｋ＝0、ｋ＝1・・・ｋ＝19の20番目がｋ＝19

よって、(ｘ、ｙ)＝(98、137)